Главная » Статьи » Олимпиады и конкурсы. » Студентам и старшеклассникам.

Задания Международной олимпиады по физике.
Задача Аквариум
Пучок света, проходя через пустой сферический аквариум, испытывает преломление на поверхностях сфер, разделяющих стеклянные стенки с воздухом, подобно преломлению на границах линз оптической системы. В задаче исследуются характеристики аквариума как оптической системы. Можно использовать формулу сферической поверхности:

Здесь n1 и n2 - показатели преломления первой и второй (по ходу луча) сред, разделённых этой поверхностью, а величины a, b и R -  взятые со знаками «плюс» или «минус» расстояния от поверхности сферы до источника S, его изображения S1 и центра сферы O (рис. 1). Знак «плюс» берётся, если расстояние отсчитывается по ходу луча, а «минус» в противоположном случае.
Рис. 1.
1. Найдите для узкого пучка света фокусное расстояние стенки пустого аквариума. Толщина стенки δ = 5 мм, радиус аквариума R = 10 см, показатель преломления стекла n = 1,6.
2. Найдите фокусное расстояние всего аквариума, который отличается от рассмотренного в первом пункте лишь тем, что имеет толщину δ = R/2 (толстый аквариум).
3. На расстоянии 2R от центра толстого аквариума помещают точечный источник света.
На каком расстоянии s от внешней поверхности аквариума наблюдатель, находящийся с противоположной от источника стороны, увидит изображение светящейся точки?

Решение (Аквариум):

Прохождение узкого пучка света через участок стенки аквариума можно рассматривать как последовательное преломление на плоско-выпуклой линзе с радиусом кривизны R, на плоско-параллельной пластине толщиной δ и на плоско-вогнутой линзе с радиусом кривизны R − δ (рис. 2). Прямая, соединяющая вершину рассматриваемого участка P с центром аквариума O, служит главной оптической осью. Рассмотрим луч пучка, падающий параллельно этой оси, и найдём точку пересечения его с осью после прохождения стенки. Эта точка является фокусом. После преломления на первой линзе
Рис. 2.
луч идёт к точке S1 (рис. 3), удаление которой от линзы
(1)


Рис. 3. Рис. 4.
Далее луч проходит через плоско-параллельную пластину, которая смещает точку пересечения луча с осью на некоторую величину ∆, которую можно найти из треугольника ABC (рис. 4) по теореме синусов:
, или

Учитывая что рассматриваются лишь лучи, близкие к оптической оси, так что sin α ≈ α, sin β ≈ β, cos α ≈ cos β ≈ 1, а также α/β ≈ n, из последнего равенства найдём
. (2)
 В точку S2 луч не попадает, поскольку преломляется примыкающей к пластине плоско-вогнутой линзой, фокусное расстояние которой
. (3)
Дальнейший ход луча показан на рисунке 5. Луч выходит из системы так, как будто бы идёт из точки S3. Её расстояние от линзы, взятое со знаком «минус», является фокусным расстоянием стенки аквариума F.
Рис.5.
Для показанной на рисунке 5 линзы S3 является мнимым изображением мнимого источника S2. Для нахождения F применим формулу линзы:

или, используя (1), (2) и (3),
,
поскольку δ ≪ R. Итак,
,
то есть стенка аквариума подобна рассеивающей линзе. Найдём фокусное расстояние толстого аквариума. Для этого нужно рассматривать преломление луча на четырёх поверхностях 1, 2, 3 и 4 (рис. 6). Нужно применить формулу сферической поверхности
.(4)
Луч падает на первую поверхность параллельно главной оптической оси
Рис. 6.
поэтому a = −∞, b = x1  -  расстояние от первой поверхности до точки схождения преломлённых лучей X1, n1 = 1, n2 = n (рис. 7). Формула (4) даёт:
, откуда
Расстояние от точки X1 до второй поверхности (рис. 7)


                    Рис. 7.                                                         Рис.8.
Применяем формулу (4) для второй поверхности (рис. 8), учтя, что в этом случае n1 =  n,  n2 = 1:

Отсюда находим положение мнимого изображения, даваемого этой поверхностью:

Расстояние от полученного изображения до третьей поверхности

Снова применим формулу (4) для нахождения положения нового изображения (рис. 9):
, откуда
Расстояние от этого изображения до последней поверхности x6

И снова применим формулу (4) для нахождения положения фокуса всей системы (рис. 10):
, откуда
Это и есть искомое фокусное расстояние


                      Рис. 9.                                            Рис. 10.
Толстый аквариум подобен рассеивающей линзе. Для нахождения положения S1 источника S рассмотрим два луча 1 и 2, на пересечении которых и находится S1 (рис. 11). Из подобия треугольников с вершинами в точках O и F получим:
,   (5)
где h0 -  размер изображения, h - размер предмета, h3 - расстояние от оптической оси до точки пересечения луча 1 с внешней поверхностью аквариума(рис. 11). При выводе соотношений предполагалось, что углы между всеми изображёнными на рисунке 11 лучами и главной оптической осью малы. Из (5) получим:
. (6)
Пользуясь подобием треугольников из рисунков 7, 8 и 9, можно получить следующие соотношения между расстояниями от оптической оси до точек пересечения лучей со сферами
, ,
Перемножая эти соотношения, получим:
. (7)
Осталось в формулу (6) подставить (7), а также выражение для F:


Категория: Студентам и старшеклассникам. | Добавил: list (26.07.2011)
Просмотров: 2200 | Теги: олимпиадная задача, задача по оптике
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]