Физика для всех

Задача (Батарейки):
Имеется батарейка с ЭДС E1 и внутренним сопротивлением r1, а также некоторое количество одинаковых батареек с ЭДСE 2 = E 1/2. Если последовательно с батареей E 1 подключить некоторое количество батареек E 2 и нагрузку, то сила тока в цепи при любом количестве батареек E 2 будет одинаковой. Если же к батарейке E 1  параллельно подсоединить любое число батареек E 2 и ту же нагрузку, то сила тока через неё останется равной прежнему значению. Полярности всех батарей считать одинаковыми. Найдите сопротивление нагрузки R, а также внутреннее сопротивление r2 батареек E 2.

Решение задачи:
На рисунке 1 изображена схема цепи с последовательным соединением элементов. Запишем для неё закон Ома:
Рис.1.

, (1)
где I - ток нагрузки. При n = 0 из (1) получим
(2)

При очень больших n из (1) следует:

(3)

Поскольку ток нагрузки по условию не зависит от n, из (2) и (3) получаем:

, или (4)

                    Рис. 2.                                                  Рис. 3.

Рассмотрим теперь цепь с параллельным соединением батареек, схема которой изображена на рисунке 2. Она эквивалентна цепи, изображённой на рисунке 3, где Ieq  - ток в эквивалентном источникеE 2, а  - его внутреннее сопротивление. В этом можно убедиться, применив правила Киргофа для контура, состоящего из нагрузки R и одной из батареек E 2:

, или

По первому правилу Киргофа

Второе правило Киргофа для внешнего контура схемы, показанной на рисунке 3, даёт:

откуда

При n = 0 ток Ieq = 0 и тогда . (5)

В случае бесконечного числа n батареек E 2 сопротивление req = 0, а ток нагрузки принимает прежнее значение I. Поэтому второе правило Киргофа для контура E 2–R приводит к соотношению

Из последнего уравнения и уравнения (5) найдём:

или

Из (4) и (6) следует ответ: R = r1 и r2 = r1. При решении данной задачи использован полезный метод эквивалентных схем. Группу соединённых друг с другом источников тока можно заменить одним эквивалентным источником. На практике используют батареи элементов. При последовательном соединении источников одинаковой полярности ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного источника равны сумме соответствующих величин для составляющих элементов. Параллельно соединяют одинаковые источники. Эквивалентная ЭДС в этом случае равна ЭДС отдельных элементов, зато внутреннее сопротивление эквивалентного источника меньше сопротивления одного элемента. При соединении n элементов внутреннее сопротивление полученной батареи в n раз меньше сопротивления отдельного элемента.